1) Continuité Théorème : Soit ∑ une série entière de rayon de convergence . an = {2n si 9k 2 N: n = k3 0 sinon. A) des nombres réels pour lesquels la série entière de coefficient a n = n √ n converge (resp. iii). 2. ii). On note et les rayons de convergence respectivement des séries entières : , et . Théorème : Soient deux séries entières de rayons de convergences respectivement. . Exemple 2 : l’exponentielle ∑ +∞ n=0! Alors la … On a parlé de rayon de convergence de la somme de deux séries entières, et ils m'ont fait examiner la valeur de la somme de deux séries sur la couronne où l'une converge mais pas l'autre. i). Le rayon de convergence vaut alors R = +∞, donc A = C = R. Déterminer le rayon de convergence R, l’ensemble C (resp. Exemples de séries entières . Convergence et somme de la série (numérique) de terme général u n. Correction H [005754] Exercice 11 *** Soit A une matrice carrée complexe de format p 2N. Ici, point de règle de d’Alembert ! Monier 4 I. Série entière; rayon de convergence. Exemples. III. Calculer la somme des séries ∑ 0 & u n et ∑ 0 & v n. En déduire, pour ∆ ‘ ]0,π[ la valeur de ∑ 0 & sin (2n + 1) ∆ 2n + 1. Propriétés. Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou +∞ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple): = {| |: ∈, ∑} ∈ [, + ∞] = + ¯. converge absolument). Propriétés de la somme. On a n p |a n| = n1/n 2 = exp lnn n2 , et cette expression converge vers 1 = 1/R. Relations sur les rayons. — Enfin, on a travaillé sur une série particulière : j'ai calculé le rayon de convergence puis la somme de la série en certain point du cercle limite. Application : Rayon de convergence de la série n n en n.z 0 ∑ .sin +∞ =. Rayon de convergence et somme en fonction de c A de la série entière å+¥ n=0 Tr(A n)z . La série produit est une série entière de rayon de convergence . Les séries entières \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\).. La proposition précédente permet de montrer que le rayon de convergence de chacune de ces séries est 1. 210 Séries entières de variable réelle ou complexe. Propriétés de la somme d'une série entière de la variable réelle Ici, est une série entière de la variable réelle dont le rayon de convergence est supposé positif et dont la somme est noté . Exercice 2 Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑ an 1+bn zn selon les aleursv de a;b 2 R +. 4- Rayon de convergence et calcul de la somme S 4(x) = X ... (les deux séries convergent) S(x) = 1 2 ... Que peut on dire des rayons de convergence des séries entières suivantes :X a n x 2n, X a2xn, X a 2nx n, Xa n n! xn, X 1 a n xn (en supposant de plus que ∀n ∈ N, a n 6= 0 ) SOLUTION : • a A. Définitions, premières propriétés. Voici la série suivante: comprendre: somme de ce qu'il y a entre crochets avec n>=1 Moi, la limite en +oo je trouve 0 et donc R=+oo Séries entières: rayon de convergence Se souvenir de moi ? II) Propriété de la somme des séries entières Définition : La somme d’une série entière ∑ de rayon de convergence est une fonction définie sur son cercle de convergence |* ⁄ | +par ( ) ∑ . Exercice 3 Déterminer le rayon de convergence des séries entières ∑ anzn suivantes : an = {n si n est pair, 0 sinon. Sommes et produits de séries entières Théorème Soient ∑ a n xn une série entière de rayon de convergence R' et ∑ b n xn une série entière de rayon de convergence R". IV. La série somme est une série entière de rayon de convergence . . Alors la fonction somme Def 1Def 1: On appelle série entière série entièresérie entière toute série d'applications ( ) 0: n n f ≥ Exemple 1 : Les polynômes P(z) = ∑ = n k k ak z 0. sont, si l’on veut, des séries entières de rayon de convergence infini. Rayon de convergence. Correction H [005755] Exercice 12 *** Pour x réel, on pose F(x) = e x 2 R x 0 e t dt.
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