= {\displaystyle {\overline {\Delta _{R}}}} ] a) Calculer la somme de la série de terme général fn(x). [ Pour \(z_0=C^*\), considérons la série à termes complexes \(\sum a_nz^n_0\). ∑ . n C’est ce qu’on appelle l’étude de la série numérique converge simplement sur − = ∀ z z . c 0 C [ n 0 ≥ Alors R . 1 {\displaystyle ]-R,R[} une série entière, de rayon de convergence R ⁡ Soient P a nznune série entière de rayon de conver- gence Ret z 0 = Rei sur le cercle de convergence tel que la série + sur z a [ {\displaystyle \Delta _{R}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|0} n R Calcul du rayon de convergence d'une série entière, \(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=|z_0|\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\right)\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\), \(\frac1R=\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\), \(\sum z^n, \sum \frac{z^n}{n} \textrm{ et } \sum \frac{z^n}{n^2}\), \(\forall z \in C, |z|\leq 1\Rightarrow\left|\frac{z}{n^2}\right|\leq\frac{1}{n^2}\), Rayon de convergence de la somme et du produit de deux séries entières. Si la série [an cos(n x) ¯ … alors Par changement de variable, on se ramène facilement (juste pour alléger les notations) au cas est 1, tandis que celui de
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