2 = 8 2 {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {10}{3}}\\&&&\\0&(1)&{\frac {8}{13}}&{\frac {50}{13}}\\&&&\\0&-{\frac {5}{3}}&{\frac {5}{3}}&{\frac {5}{3}}\end{array}}\right)}, On analyse maintenant les lignes autres que celle du pivot. 4 x et <> A − 3 − 5 3 0 {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {10}{3}}\\&&&\\0&-{\frac {5}{3}}&{\frac {5}{3}}&{\frac {5}{3}}\\&&&\\0&\left(-{\frac {13}{3}}\right)&-{\frac {8}{3}}&-{\frac {50}{3}}\end{array}}\right)}. x 13 0 On passe à la colonne 3. … {\displaystyle \left({\begin{array}{ccccc|c}1&2&0&1&-4&-5\\0&0&1&-2&3&4\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\right)} − s 1 ) j j 2 ( − 5 k 3 2 13 6 La méthode est présentée au moyen de dix-huit exercices. 1 ) 1 − s O + 3 − 2 − 13 Propriété : Un système de Cramer possède une unique solution que l’on détermine en partant de la dernière équation. %PDF-1.2 = 3 ( 5 = 1 10 3 8 0 − 13 ) 13�ȳ��0�l"O�;��A/�*P��&T�pJ��Z� *�c@Աp"����Af�d�RF�Jm&hY�,?�T�KVʡםs�xs��̞�.��]N�Zف�_��)�c�%�k���׼ɷRI��:&�����\{�hy��ى� {\displaystyle B=(O_{s}\circ \ldots \circ O_{1})(\mathrm {I} _{n})=G_{s}\ldots G_{1}.}. 10 [ , 4 5 0 Elle est référencée dans le livre chinois Jiuzhang suanshu (Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique), dont elle constitue le huitième chapitre, sous le titre « Fang cheng » (la disposition rectangulaire). 50 x On passe à la colonne 2. 1 Ligne 1, on a A(1, 3) = 35 1 Ligne 2, on a A(2, 1) = 1. = x Toutes les colonnes à gauche de la barre verticale ont été traitées. 13 1 3 La première section de l'algorithme, soit l'échange de ligne avec la valeur de pivot la plus grande, a pour but d'améliorer la stabilité numérique de l'algorithme. Contrairement à la méthode de Cramer, le pivot de Gauss ne requiert pas la connaissance des matrices (sauf pour sa démonstration) et donne même des solutions lorsque le système n’est pas de Cramer. {\displaystyle x_{1}=-5,x_{3}=4,x_{2}=x_{4}=x_{5}=0} 1 ( × Les pivots sont situés aux colonnes d'indice 1 et 3. Ton pivot de Gauss, veux-tu l'utiliser pour calculer l'inverse d'une matrice ou pour calculer la solution d'un système ? 2 + Résolution d'un système d'équations linéaires, Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, Algorithme d'échelonnement dans un anneau euclidien, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Élimination_de_Gauss-Jordan&oldid=174238245, Article contenant un appel à traduction en anglais, Portail:Informatique théorique/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, étape 1.1 : on cherche dans la première colonne de la matrice la valeur maximale des valeurs absolues des coefficients. + 3 2 1 ( − La matrice finale est de la forme [ I | A−1 ] et contient l'inverse de la matrice initiale dans sa section de droite. 13 + x 2 La m´ethode du pivot. ) − 1 4 1 G l’inverse de A : il existe plusieurs méthodes 1 par résolution du système linéaire Ax = y où x = 0 B B B @ x1 x2 xn 1 C C C A et y = 0 B B B @ y1 y2 yn 1 C C C A 2 par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d’une matrice) 3 par la méthode du pivot de Gauss-Jordan C. Nazaret Inverse 13 3 , 50 1 y − La méthode du « pivot de Gauss », ou « élimination de Gauss-Jordan », est un algorithme efficace permettant de résoudre — lorsque c’est possible — un système d'équations linéaires. Gauss n'a pas inventé la méthode lui-même. 5 1 5 On analyse maintenant les lignes autres que celle du pivot. ) 0 3 3 x 0 5 × 3 2 3 5 10 − {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{7}{c}}x&-&y&+&2z&=&5\\3x&+&2y&+&z&=&10\\2x&-&3y&-&2z&=&-10\\\end{array}}\right. − 1 ligne i = 1, on a A(1, 3) = 0, la ligne n'est pas modifiée ; ligne i = 3, on a A(3, 3) = -1 ; on calcule, ligne i = 1, on a A(1, 2) = -1/2 ; on calcule, ligne i = 2, on a A(2, 2) = -1/2 ; on calcule. ligne i = 3, on a A(3, 1) = 0, la ligne n'est pas modifiée. − 3 … II – Technique du pivot de Gauss-Jordan x − . 0 − ) − 4 1 3 {\displaystyle -{\frac {13}{3}}} ( 8 5 0 − ��^%{V�V?��d�Ld��XI��^�SZ��X�_�V]�_r�`��mʆ��m�l�Nds2����j�'"�e��H1�c��`4�E�Rً�w �H��G"�:�8b ��X��N(F� }���> c�����tw�M���m`�y����2��ϵ�ej���mF�� EH�!��| ˛�~�3/���>���b;�؅6������1���M�H�h8S�ph�]�bq@������>xw�G͵:o�]����f+dQJ ��x6� 3 , ce qui correspond au vecteur : 0 En Europe, cette méthode a été découverte et présentée sous forme moderne au XIXe siècle. 105 1 La matrice échelonnée réduite associée à ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{11}{c}}x_{1}&+&2x_{2}&+&2x_{3}&-&3x_{4}&+&2x_{5}&=&3\\2x_{1}&+&4x_{2}&+&x_{3}&&&-&5x_{5}&=&-6\\4x_{1}&+&8x_{2}&+&5x_{3}&-&6x_{4}&-&x_{5}&=&0\\-x_{1}&-&2x_{2}&-&x_{3}&+&x_{4}&+&x_{5}&=&2\end{array}}\right.}. le pivot noté à l'étape j de l'algorithme. − La méthode de réduction de ligne était connue des anciens mathématiciens chinois, elle était décrire dans les Neufs Chapitres de l'Art des Mathématiques, un livre chinois de mathématiques apparu au II siècle. u est la solution de mat u = v 17 integer :: n 18 real :: pivot 19 integer :: ligne, col, lmax − 1 1 ( x x 0 0 5 ) {\displaystyle (-1)^{1}\times 2\times {\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}=-4} {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&0&-{\frac {1}{13}}&{\frac {10}{13}}\\&&&\\0&1&{\frac {8}{13}}&{\frac {50}{13}}\\&&&\\0&0&\left({\frac {35}{13}}\right)&{\frac {105}{13}}\end{array}}\right)}, ( ) 1 13 5 ( 1 0 C'est grâce à ce dernier livre que cette méthode se diffusa dans tout l'Occident[3]. 3 3 matinv une matrice de meme taille 13! 5 + Nous sommes en présence d'une matrice échelonnée réduite, avec la matrice identité d'un côté et la valeur des variables de l'autre. 13 1 ∏ ) 3 1 ( 1 ) L'algorithme de Gauss-Jordan produit la matrice échelonnée réduite d'une matrice à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes. TP no 12 : Pivot de Gauss Correction de l’exercice 1 – Échelonnement d’une matrice et résolution d’un système 1. Si le dernier pivot de la matrice échelonnée réduite associée à (A|B) se situe dans la dernière colonne, alors il n'y a pas de solution. − 1 On crée un tableau à n lignes et m + 1 colonnes en bordant la matrice A par le vecteur B. ( 13 {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&{\frac {8}{13}}&{\frac {50}{13}}\end{pmatrix}}-\left(\textstyle {\frac {8}{13}}\right)\times {\begin{pmatrix}0&0&1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&2\end{pmatrix}}}. … − 4 n Il s'agit de 3/2, situé en (2, 2), étape 2.2.3 : on divise la ligne 2 par A'(2, 2) = 3/2, soit, étape 3.1 : le pivot de la troisième colonne, troisième ligne est 4/3. Le pivot est le maximum en valeur absolue entre x 0 = 2 La matrice échelonnée réduite associée à x 0 x Cet algorithme peut être utilisé sur un ordinateur pour des systèmes avec des milliers d'inconnues et d'équations[réf. 1 5 3 105 p 1 À propos de la méthode. 2 {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}1&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {10}{3}}\\&&&\\0&-{\frac {5}{3}}&{\frac {5}{3}}&{\frac {5}{3}}\\&&&\\0&(1)&{\frac {8}{13}}&{\frac {50}{13}}\end{array}}\right)}, ( On commence par la colonne 1. + 3 {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc|c}(1)&{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {10}{3}}\\&&&\\1&-1&2&5\\&&&\\2&-3&-2&-10\end{array}}\right)}, On analyse maintenant les lignes autres que celle du pivot. 3 − 3 5 3 2 1 ) ( x x . − {\displaystyle {\frac {8}{13}}} − )
2020 pivot de gauss matrice inverse